Title: lineareAlgebra
Tags: lineareAlgebra

Q: Wie bestimmt man den Mittelpunkt M zwischen zwei Punkten?
A: [$]\vec{M}=\frac12 \cdot (\vec{A}+\vec{B})[/$]
In Worten: Man addiert die Koordinaten und dividiert sie jeweils durch zwei

Q: Wie bestimmt man die Länge einer Strecke zwischen zwei Punkten A und B?
A: Man bestimmt den Differenzvektor zwischen zwei Punkten und dessen Länge mit Hilfe des Pythagoras. Hinweis: Das funktioniert auch im Zweidimensionalen.
[$]\vec{d}=\vec{B}-\vec{A}[/$]
[$]\left | \vec{d} \right | = \sqrt{d_1^2 + d_2^2 + d_3^2}[/$]

Q: Was ist eine Basis eines Vektorraums?
A: Das sind drei (in dreidimensionalen Raum) linear unabhängige Vektoren. Mit diesen drei Vektoren kann man also den ganzen Raum erreichen durch Bildung einer Linearkombination:
[$]\vec{x}=a \cdot \vec{b_1}+b \cdot \vec{b_2}+c \cdot \vec{b_3}[/$]

Q: Wie prüft man zwei Ebenen auf Parallelität?
A: Am einfachsten, in dem man prüft ob die beiden Normalenvektoren parallel (Vielfache voneinander) sind.
Etwas komplexer: Die beiden Richtungsvektoren der einen Ebene müssen sich jeweils als Linearkombination der Richtungsvektoren der anderen Ebene darstellen lassen (linear Abhängig sein)

Q: Wann sind zwei Ebenen senkrecht zueinander?
A: Wenn die Normalenvektoren senkrecht zueinander sind (orthogonal), d.h. ihr Skalarprodukt ist gleich 0.

Q: Was ist eine Linearkombination von Vektoren?
A: Die Summe von Vielfachen der gegebenen Vektoren:
[$]a\cdot \vec{v_1}+b\cdot \vec{v_2} + ...[/$]

Q: Wann sind zwei Vektoren senkrecht/orthogonal?
A: Wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist

Q: Wie prüft man die Lage zweier Ebenen in Koordinatenform?
A: Aus den Kooeffizienten (Vorfaktoren) erhält man die beiden Normalenvektoren. Sind diese parallel (Vielfache voneinander), so können die Ebenen Parallel oder identisch sein. Um diese beiden Fälle zu unterscheiden, muss man einen Punkt der einen Ebene bestimmen und ihn in die andere Einsetzen.
In jedem anderen Fall schneiden sich die beiden Ebenen in einer Geraden.

Q: Wie bestimmt man die Lage zweier Ebenen, wenn eine Ebene in Koordinatenform, die andere in Parameterform gegeben ist?
A: Man bestimmt zunächst den allgemeinen Ebenenpunkt der Ebene in Parameterform und setzt diesen in die Koordinatenform der anderen Ebene ein.
Wenn sich eine unwahre aussage ergibt, so sind die Ebenen parallel.
Ergibt sich eine (immer) wahre Aussage (z.B. 3=3) so sind die Ebenen identisch.
Ergibt sich eine Gleichung zwischen den beiden Parametern, so erhält man die Schnittgerade, wenn man diese Gleichung nach einem Parameter auflöst und in die Parameterform einsetzt.

Q: Wie bestimmt man die Gegenseitige Lage von zwei Ebenen in Parameterform?
A: Man setzt die beiden Ebenen gleich und löst das LGS so, dass man möglichst eine Gleichung zwischen den beiden Parametern einer Ebene erhält. Diese Gleichung bestimmt die Schnittgerade, die man durch Einsetzen in die zugehörige Ebene erhält.
Hinweis: Vermutlich ist es einfacher zunächst mit Hilfe des Kreuzprodukts die beiden Normalenvektoren zu bestimmen und mit deren Hilfe die Lage zu bestimmen.

Q: Wie erkennt man, dass eine Ebene und eine Gerade parallel sind?
A: Man bildet das Skalarprodukt aus Richtungsvektor und Normalenvektor der Ebene. Ist die ungleich 0, so schneiden sich Ebene und Gerade. Falls das Skalarprodukt gleich 0 ist, so prüft man, ob der Stützvektro der Geraden in der Ebene liegt, dann läge auch die Gerade in der Ebene, sonst wäre sie parallel.
Bemerkung: Falls die Ebene in Parameterform vorliegt, könnte man mit Hilfe der linearen Abhängigkeit der Richtungsvektoren prüfen.

Q: Wann sind eine Ebene und eine Gerade orthogonal?
A: Wenn der Richtungsvektor der Geraden parallel zum Normalenvektor der Ebene ist. (Vielfache voneinander)

Q: Wie bestimmt man die gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene in Koordinatenform?
A: Man bestimmt den allgemeinen Geradenpunkt und setzt ihn in die Ebenengleichung ein.
Erhält man eine unwahre aussage, so liegt die Gerade parallel.
Erhält man eine eindeutige Lösung für den Parameter der Geraden, so bestimmt dieser den Schnittpunkt.
Ansonsten liegt die Gerade in der Ebene (wahre Aussage wie z.B. 3=3)

Q: Wie spiegelt man einen Punkt P an einem Punkt Q?
A: [$]\vec{P'}=\vec{Q}- \vec{QP}[/$]
In Worten: Man bestimmt den Verbindungsvektor von Q nach P und zieht diesen von Q ab, bzw. addiert den Gegenvektor (umgekehrte Richtung) zu Q.

Q: Wie bestimmt man das Kreuzprodukt zweier Vektoren?
A: ein Bild sagt mehr als 1000 Worte...

Q: Welche Bedeutung/Eigenschaften hat das Kreuzprodukt zweier Vektoren?
A: Der Vektor der sich als Kreuzprodukt ergibt steht senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren. (z.B. als Normalenvektor)
Seine Länge/Betrag entspricht der Fläche des aufgespannten Parallelogramms.

Q: Wie lautet die Geradengleichung in Parameterform?
A: [$]\vec{x}=\vec{a}+\lambda \cdot \vec{r}[/$]
Mit dem Stützvektor a (ein Punkt der Geraden)
und dem Richtungsvektor r.

Q: Wie weist man nach, dass zwei Geraden im Raum parallel sind?
A: Die Richtungsvektoren müssen Vielfache voneinander sein und der Stützvektor der einen Geraden darf nicht auf der anderen Geraden liegen.
Alternativ: Man könnte die Geraden mit zwei verschiedenen Parametern gleichsetzen und erhält im Falle der Parallelität ein Unlösbares LGS.

Q: Wie weist man nach, dass sich zwei Geraden orthogonal schneiden?
A: Zwei Geraden sind orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind (d.h. Skalarprodukt = 0).
Um zu prüfen, ob sich beide Geraden schneiden setzt man sie gleich (Achtung: Verschiedene Parameter wählen) und bestimmt den Schnittpunkt.

Q: Wie können zwei Geraden im Raum zueinander liegen?
A: Sie können sich schneiden, parallel oder identisch sein.

Q: Wie kann man die Lage zweier Geraden bestimmen?
A: 1. Man setzt sie gleich und betrachtet die Lösungsmenge des Gleichungssystems (Achtung: Verschiedene Parameterbuchstaben wählen)
2. Man prüft die Lage der Richtungsvektoren zueinander und prüft gegebenenfalls noch auf gemeinsame Punkte.

Q: Wie lauten die Geradengleichungen der Koordinatenachsen?
A: [$]\vec{x}=\lambda \cdot \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}[/$]
für die x1-Achse. Entsprechend andere Richtungsvektoren für die x2- und x3-Achse

Q: Wie lautet eine Ebenengleichung in Parameterform?
A: [$]E: \vec{x}=
\vec{a}+\lambda \vec{r_1}+\mu \vec{r_2}[/$]
Mit dem Stützvektor a und den beiden Richtungsvektoren r_1 und r_2

Q: Wie bestimmt man aus drei gegebenen Punkten A,B und C die zugehörige Ebenengleichung?
A: Die Verbindungsvektoren zweier Vektoren werden zu Richtungsvektoren und einer der drei Punkte zum Stützvektor der Ebene. Häufige Wahl:
[$]E: \vec{x}=
\vec{A}+\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AC}[/$]
oder [$]E: \vec{x}=
\vec{A}+\lambda (\vec{B}-\vec{A})+\mu (\vec{C}-\vec{A})[/$]

Q: Wie bildet man eine Ebene aus einer Geraden und einem Punkt P?
A: Man ergänzt die Gerade um einen weiteren Richtungsvektor aud dem Differenzvektor des Stützvektors der Geraden und dem Punkt P:
[$]E: \vec{x}=
\vec{A}+\lambda \vec{r_1}+\mu \overrightarrow{AP}[/$]
Hier ist der Ortsvektor von A der Stützvektor sowohl der Geraden als auch der Ebene.
Hinweis: P darf nicht auf der Geraden liegen

Q: Wie bestimmt man eine Ebene aus zwei Geraden die sich schneiden?
A: Die beiden Richtunsvektoren der beiden Geraden können als Richtungsvektoren der Ebene gewählt werden und einer der Stützvektoren einer Geraden als Stützvektor der Ebene.

Q: Wie erhält man eine Ebene aus zwei parallelen Geraden.
A: Ein Stützvektor einer Geraden wird als Stützvektor der Ebene gewählt, die benötigten Richtungsvektoren erhält man aus dem Richtungsvektor einer Geraden und dem Differenzvektor der beiden Stützvektoren.

Q: Wie lautet die Koordinatengleichung einer Ebene?
A: [$]n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 = d[/$]
Dabei ist n ein Normalenvektor:
[$]\vec{n}=\left(\begin{smallmatrix}
n_1\\
n_2\\
n_3
\end{smallmatrix}\right)[/$]

Q: Wie wandelt man die Parameterform in die Koordinatenform ohne Verwendung des Vektorprodukts um?
A: Man schreibt jede Koordinate in eine eigene Zeile und entfernt durch das Additionsverfahren (wie beim Gaußverfahren) die beiden Parameter aus einer Zeile:

Q: Wie wandelt man die Parameterform in Koordinatenform um mit Vektorprodukt?
A: Man bildet zunächst das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren und erhält den Normalenvektor.
Aus diesem bildet man die Vorfaktoren n1,n2,n3 der Koordinatenform.
Durch Einsetzen des Stützvektors für x bestimmt man d.
zur Erinnerung:
[$]n_1\cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 = d [/$]

Q: Wie lautet die Koordinatengleichung einer Koordinatenebene?
A: [$]x_2 = 0[/$]
für die x_1-x_3-Ebene. Entsprechend für die anderen Ebenen.

Q: Wie bestimmt man den Mittelpunkt M zwischen zwei gegebenen Punkten A und B?
A: [$]\vec{M}=\frac12 (\vec{A}+\vec{B})[/$]

Q: Wie bestimmt man den Schwerpunkt S eines Dreiecks ABC?
A: [$]\vec{S}=\frac13 (\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})[/$]

Q: Wie bestimmt man den Verbindungsvektor von zwei Vektoren A und B?
A: [$]\overrightarrow{AB}=\vec{B}-\vec{A}[/$]

Q: Bestimme die Länge des Vektors
[$]\vec{a}=\left(\begin{smallmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3
\end{smallmatrix}\right)[/$]
A: [$]\left | \vec{a} \right | = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}[/$]

Q: Bestimme das Skalarprodukt der beiden Vektoren:
[$]\vec{a}=\left(\begin{smallmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3
\end{smallmatrix}\right), \vec{b}=\left(\begin{smallmatrix}
b_1\\
b_2\\
b_3
\end{smallmatrix}\right)[/$]
A: [$]\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2 + a_3 \cdot b_3[/$]

Q: Wann sind zwei Vektoren senkrecht bzw. orthogonal zueinander?
A: Wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist.

Q: Wie prüft man zwei Vektoren a und b auf lineare Abhängigkeit?
A: Man prüft, ob sie Vielfache voneinander sind. Ansatz:[$]\left(\begin{smallmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3
\end{smallmatrix}\right) = k \cdot \left(\begin{smallmatrix}
b_1\\
b_2\\
b_3
\end{smallmatrix}\right)[/$]

Q: Wie bestimmt man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
A: Es gilt:
[$]cos \alpha = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}[/$]