Title: Mathe / JgstEF
Tags: Basics Funktionen Funktionen::ganzrationale Funktionen::Eigenschaften S50 VaWi Funktionen::trig Funktionen::linear Funktionen::quadratisch Begriffe Funktionen::Typen Grundlagen Logik S40 Beweis KaKu RaFa TermeGleichungen Aufg Basics::binomischeFormeln CAS Kurvendiskussion S171

Q: Ein Produkt ist Null, wenn ...
A: einer der Faktoren Null ist.

Q: Wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, ...
A: dreht sich das Ungleichheitszeichen um.
(aus größer wird kleiner und umgekehrt)

Q: Wie lautet die allgemeine Geradengleichung?
A: [latex]$y=m\cdot x +b$[/latex]

Q: Wie berechnet man die Steigung m einer Geraden?
A: [latex]$m=\frac{ Höhenunterschied}{Horizontalunterschied}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$[/latex]

Q: Bestimme die Steigung der Geraden
durch die Punkte
[latex]$P(1|1)$ und $Q(3|2)$[/latex]
A: [latex] $ m = \frac{2-1}{3-1} = \frac{1}{2} $[/latex]

Q: Wie zeichnet man die Gerade mit der Gleichung
[latex]$y=3x-2$[/latex]
A: Man zeichnet zunächst den y-Achsenabschnitt -2 ein und dann geht man eine Einheit zur Seite und drei Einheiten nach oben (Steigung m=3).

Q: Was ist eine Normale und wie erhält man ihre Steigung?
A: Eine Normale ist eine Senkrechte zur Funktion, sie liegt somit um 90° gedreht zur Tangente. Ihre Steigung erhält man als negativen Kehrwert der Tangentensteigung:
[$]m_n=-\frac{1}{m_t}[/$]

Q: Woran erkennt man, dass zwei Geraden parallel sind?
A: Sie haben die gleiche Steigung

Q: Woran erkennt man, dass zwei Geraden senkrecht zueinander sind?
A: Das Produkt ihrer Steigungen ergibt -1.
Hinweis: Für die Steigung der Normalen und der Tangentensteigung gilt ja [$]m_n=-\frac{1}{m_t}[/$]

Q: Wie lauten die Potenzrechengesetze?
A: [$]a^m\cdot a^n=a^{m+n}[/$]
[$]\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}[/$]
[$](a^m)^n=a^{m\cdot n}[/$]
[$]a^{-m}=\frac{1}{a^m}[/$]

Wo findet man Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis?

Q: Was ist eine Passante zu einer Parabel?
A: Das ist eine Gerade, die die Parabel nicht schneidet.

Q: Was ist eine Tangente an eine Parabel?
A: Eine Gerade, die die Parabel in einem Punkt berührt.

Q: Was ist eine Sekante zu einer Parabel?
A: Eine Gerade, die die Parabel an zwei Stellen berührt.

Q: [...] = [...]
A: [$]a^m \cdot a^n[/$]; [$]a^{m+n}[/$]

Q: [...] = [...]
A: [$]\frac{a^m}{a^n}[/$]; [$]a^{m-n}[/$]

Q: [...] = [...]
A: [$](a \cdot b)^n[/$]; [$]a^n \cdot b^n[/$]

Q: [...] = [...]
A: [$]\left( \frac{a}{b} \right) ^n[/$]; [$]\frac{a^n}{b^n}[/$]

Q: [...] = [...]
A: [$](a^m)^n[/$]; [$]a^{m \cdot n}[/$]

Q: [...] = [...]
A: [$]a^{-n}[/$]; [$]\frac{1}{a^n}[/$]

Q: [$]a^0 = [/$]  [...]
A: 0

Q: [$]a^1 = [/$]  [...]
A: a

Q: Wie lautet die pq-Formel?
A: \(x_{1,2}=- \frac{p}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^2 - q}\)

Q: Wie löst man eine Quadratische Gleichung?
A: - Alles auf eine Seite bringen (Andere Seite ist 0)
- Durch den Faktor vor \(x^2\) teilen
- p/q-Formel anwenden
Alternativ: Quadratische Ergänzung oder in einfachen Fällen Wurzel ziehen (PlusMinus nicht vergessen)

Q: Wie schreibt man negative Potenzen (z.B. \(a^{-2}\)) um?
A: In dem man sie auf die andere Seite des Bruchstriches schreibt (Zähler <-> Nenner)
\(a^{-2}=\frac{1}{a^2}\)

Q: Wie lauten die Potenzgesetze für Potenzen mit gleicher Basis?
A: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert (dividiert) in dem man die Exponenten addiert (subtrahiert) und die Basis beibehält.
\(b^5 \cdot b^3 = b^8\)  bzw. \(\frac{c^3}{c^7} = c^3 : c^7 = c^{3-7}=c^{-4}\)

Q: Was ist \(x^0\) ?
A: \(x^0 = 1 \text{ für alle }x \ne 0\)
\(0^0\) ist nicht definiert

Q: Aus Differenz und Summen ...
A: ... kürzen nur die Dummen
... wurzeln nur die Dummen
oder die ganz Schlauen

Q: Eine Funktion ist achsensymmetrisch (zur y-Achse), wenn ...
A: ... sie nur gerade Potenzen von x enthält, z.B.
\(f(x) = x^4 + 2 \cdot x^0 - \frac{3}{x^2} = x^4 +2-3x^{-2}\)

Q: Eine Funktion ist punktsymmetrisch (zum Ursprung), wenn ...
A: ... sie nur ungerade Potenzen von x enthält, z.B.
\(f(x) = x^7 + 2 \cdot x^1 - \frac{3}{x} = x^7 +2x-3x^{-1}\)

Q: Eine Funktion nähert sich der x-Achse, wenn ...
A: ... der Abstand der Funktionswerte von der x-Achse (\(|f(x)|\)) für sehr große x-Werte immer kleiner wird (auch für sehr kleine - im Sinne von -10000), z.B. \(\frac{1}{x}\)
geht man im Bild entlang der x-Achse immer weiter nach links oder rechts, so nähert sich der Funktionswert (grün) der x-Achse an.

Wie sieht der Graph der Funktion \(\frac{1}{x}\) aus?

Q: Was ist eine Funktion?
A: Jedem x wird höchstens ein y zugeordnet.
Eine Funktion ordnet jedem Element der Definitionsmenge eine Zahl der Wertemenge zu (keine zwei oder mehrere Zahlen)

Q: Wie sehen die Funktionstypen \(x^3, x^5, x^7, \dots\) aus?
A: Wie eine „Skischanze“ von links unten kommend nach rechts oben verlaufend

Q: Was ist die Definitionsmenge?
A: Die Menge aller Zahlen, die in eine Funktion eingesetzt werden können.
f(x) = 1/(x-1) - hier dürfen alle Werte außer 1 eingesetzt werden

Q: Was kann man aus der faktorisierten Form der Parabel ablesen?
A: Die Nullstellen (und den Streckungsfaktor)
\(f(x) = a \cdot (x-r)\cdot (x-s)\)

Q: Wie bestimmt man den Streckungsfaktor a einer Parabel aus der Zeichnung?
A: Man geht vom Scheitelpunkt aus einen Schritt zur Seite und schaut wie viele Schritte man nach oben gehen muss, dies entspricht dem Streckungsfaktor.
Man kann auch 2,3,... Schritte zur Seite gehen und vergleicht dann die Schritte die man nach oben/unten gehen muss, mit den Schritten bei der Normalparabel (4, 9, ...).
Bsp: Wenn man zwei Schritte vom Scheitelpunkt zur Seite geht, müsste man bei der Normalparabel 4 nach oben gehen.
Wenn man im Bild aber nur einen Schritt nach oben gehen muss, dann ist der Stauchungsfaktor 1/4. Denn die "normalen" 4 müssen mit 1/4 multipliziert werden um auf 1 zu kommen.

Q: Wie bestimmt man eine Geradengleichung aus dem Graphen?
A: In dem man den y-Achsenabschnitt b und die Steigung m abliest.
Oder man ermittelt nur die Steigung aus zwei Punkten und berechnet den y-Achsenabschnitt durch einsetzen.

Q: Wie bestimmt man eine Geradengleichung aus zwei Punkten?
A: Steigung berechnen (Steigungsdreieck), dann einen Punkt in die Gleichung einsezten und den y-Achsenabschnitt b berechnen.

Q: Wie lautet die allgemeine Geradengleichung?
A: y = m · x + b

Q: Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden am Graphen?
A: Mit dem Steigungsdreick. Die Steigung m ist dann der Höhenunterschied durch den Horizontalunterschied.

Q: Wie sehen die Funktionstypen \(\frac{1}{x},\frac{1}{x^3}, \frac{1}{x^5}, \frac{1}{x^7},\dots\) aus?
A: Wie eine Hyperbel. Sie nähert sich jeweils asymptotisch den Achsen und verläuft durch den ersten und dritten Quadranten des Kooridnatensystems.

Q: Wo findet man die Quadranten 1-4 im Koordinatensystem?
A: Der erste Quadrant ist der mit den beiden positiven Achsenteilen. Dann wird im mathematisch positiven Sinn (also gegen den Uhrzeigersinn) weitergezählt.

Q: Was ist die Wertemenge?
A: Die Menge aller Zahlen, die eine Funktion beim Einsetzen aller Werte der Definitionsmenge annehmen kann.
z.B. bei einer Parabel, die nach oben geöffnet ist, werden nur die Werte oberhalb des Scheitelpunktes (inklusive) angenommen:
 in diesem Beispielt besteht die Wertemenge also aus allen Zahlen größer oder gleich 1:
\(\mathbb{W} = \mathbb{R}^{\ge 1} = \lbrace x \in \mathbb{R} | x \ge 1 \rbrace\)

Q: Welche Bestandteile einer Funktionsgleichung können die Definitionsmenge einschränken?
A: Wenn in einer Funktion das x unter einem Bruchstrich auftaucht, könnte die Regel "Man darf nicht durch 0 teilen" verletzt werden.
Wurzeln, denn bei Wurzeln darf nichts negatives unter der Wurzel stehen

Q: Wie lautet der Nullproduktsatz?
A: Ein Produkt (Ergebnis) ist immer dann Null, wenn mindestens ein Faktor, also ein „Part“ der Rechnung gleich Null ist.

Q: Was ist ein Intervall ?
A: Ein Intervall ist ein „Zeitraum“ also eine Menge an Zahlen, die durch eine Start- und Endzahl begrenzt sind. Z.b.:
Achtung \([3,5)\) - bedeutet 3 inklusive und 5 exklusive - oder auch \([3; 5[ = \lbrace x \in \mathbb{R} | 3 \le x < 5 \rbrace \)

Q: Wie lautet die Scheitelpunktform einer Parabel?
A: \(f(x) = a\cdot (x-d)^2 + e\) hat den Scheitelpunkt \(S(d|e)\)

Q: Wann ist eine Parabel gestreckt? Wann ist sie gestaucht?
A: Wenn der Betrag des Streckungs- bzw. Stauchungsfaktors a kleiner als 1 ist (\(|a|<1\) ), ist sie gestaucht, ansonsten gestreckt.

Q: Was bedeutet der Betrag |x| ?
A: Er bestimmt, wie weit die Zahl vom Ursprung weg ist.
|5| = 5 und |-5| = 5
Er ist immer eine nichtnegative Zahl also größer oder gleich 0

Q: Was bewirkt ein negativer Vorfaktor vor einer Funktion?
A: Ein negativer Faktor sorgt für eine Spiegelung an der x-Achse
Wenn der Betrag größer 1 ist, wird die Funktion zudem noch gestreckt....

Q: Was macht man, wenn die Aufgabe die Bestimmung von zwei oder mehr Unbekannten in einer Gleichung erfordert?
A: Man benötigt mehrere Gleichungen - mindestens so viele wie es Unbekannte gibt.
(Lineares) Gleichungssystem (L)GS
Einsetzungsverfahren, Aditionsverfahren, ...

Q: Wann sind zwei geraden Parallel? - Woran erkenne ich das in der Geradengleichung?
A: Sie sind parallel, wenn sie sich nicht schneiden und somit die gleiche Steigung haben.
Die Steigung m ist also bei beiden geraden gleich. Ist der y-Achsenabschnitt nicht verschieden, so sind die geraden sogar identisch (oh Wunder ;-) )

Q: Was ist eine Potenzfunktion?
A: Der Funktionsterm hat die Form \(f(x)=a\cdot x^n\) ,
Der Exponent n kann dabei aus den reellen Zahlen sein, aber insbesondere auch aus den ganzen Zahlen, also auch negativ.

Q: Wie bestimmt man die Periode \(p\) einer trigonometrischen Funktion \(f(x) = a\cdot \sin(b(x-c))+d\) ?
A: Es gilt \(p=\frac{2\cdot \pi}{|b|}\)
Weil die Periode (Wiederholungslänge) der normalen Sinus-Funktion \(2\pi\) ist und der Faktor \(b\) zu einer Streckung in x-Richtung um den Faktor \(\frac{1}{b}\) führt - Das Vorzeichen von \(b\) spielt hier keine Rolle (Spiegelung an der y-Achse)

Q: Was ist die Amplitude einer trigonometrischen Funktion?
A: Die Amplitude ist die maximale Auslenkung aus der Ruhelage (oder auch Nulllage).
Man kann sie auch als halbem Abstand zwischen Maximum und Minimum definieren.

Q: Was ist die Periode einer trigonometrischen Funktion?
A: Der kleinste Abstand zweier Stellen der Funktion bei denen sich die Funktion wiederholt
(gleicher Funktionswert reicht nicht)

Q: Was ist das Bogenmaß eines Winkels?
A: Beim Bogenmaß wird der Winkel nicht in Grad gemessen, sondern man gibt die Länge des Bogens am Einheitskreis an.
Das heißt 360° ≙ 2π (dem Umfang des Einheitskreises). Dementsprechend 180° ≙ π, 90° ≙ π/2, usw.

Q: Wie bestimmt man den Parameter \(c\) einer trigonometrischen Funktion \(f(x) = a\cdot \sin(b(x-c))+d\) ?
A: Der Parameter kann gut abgelesen werden an der Selle wo die Sinusfunktion zum ersten mal die Nulllage steigend schneidet

Q: Wie bestimmt man den Parameter \(d\) einer trigonometrischen Funktion \(f(x) = a\cdot \sin(b(x-c))+d\) ?
A: Der Parameter d kann gut an dem Abstand der Nulllage/Ruhelage von der x-Achse abgelesen werden.

Q: Wie heißen die verschiedenen Mengen der Zahlbereichserweiterung von der kleinsten bis zur größten Menge?
A: \(\mathbb{N}=\lbrace 1,2,3,\dots \rbrace\)- natürliche Zahlen
\(\mathbb{Z}=\lbrace \dots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \rbrace\)- ganze Zahlen
\(\mathbb{Q}=\left \lbrace \frac{p}{q} \middle | p\in \mathbb{Z} \text{ und } q \in \mathbb{N} \right \rbrace\)- rationale Zahlen
\(\mathbb{R}\)- reelle Zahlen

Q: Was bedeutet das Zeichen \(\in\)? z.B. bei \(n\in\mathbb{N}\)
A: Es bedeutet "ist Element von"
\(n \in \mathbb{N}\) - heißt, dass n Element der natürlichen Zahlen ist.

Q: Rechenreihenfolge: ... vor ... vor ... vor ... und dann ...
A: Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich und dann von links nach rechts

Q: Wie schreibt man das? Die Definitionsmenge sind alle reellen Zahlen ohne 1 ?
A: \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \lbrace 1 \rbrace = \lbrace x \in \mathbb{R} \mid x \ne 1 \rbrace\)

Q: Was bedeutet der \(\setminus\) in \(C = A \setminus B\) ?
A: Es bedeutet "ohne" - also C enthält alle Elemente aus A ohne die aus B

Q: Was bedeutet das Zeichen \(\Leftrightarrow\) ?
A: Es ist das Äquivalenzzeichen und bedeutet, dass die Gleichungen vor und nach dem Zeichen die gleiche Lösungsmenge haben, d.h. gleichwertig (äquivalent) sind.

Q: Wie drückt man durch ein Zeichen aus, dass zwei Dinge nur ungefähr oder gerundet übereinstimmen?
A: Durch das Rundungszeichen \(\approx \)

Q: Wie führt man die quadratische Ergänzung durch um den Scheitelpunkt einer Parabel zu ermitteln?
A: \(f(x)=ax^2 + bx + c\)
1. Vorfaktor ausklammern - \(f(x) = a \cdot\left ( x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} \right )\)
2. p identifizieren und mit \(\left( \frac{p}{2} \right )^2\) ergänzen - \(f(x) = a \cdot\left ( x^2 + \frac{b}{a} x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2+ \frac{c}{a} \right )\)
3. binomische Formel anwenden und ggf. Klammer auflösen
\(f(x) = a \cdot\left ( \left ( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2+ \frac{c}{a} \right ) = a \cdot \left ( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c\)
Jetzt hätte man sogar eine Formel für den Scheitelpunkt - man kann also direkt aus der Normalform den Scheitelpunkt ablesen: Die x-Koordinate des Scheitelpunktes ist einfach b/(2a)

Q: Wie lautet der Wertebereich der abgebildeten Funktion?
A: alle reellen Zahlen >= 1
\(\mathbb{W} = \mathbb{R}^{\ge 1} = \lbrace x \in \mathbb{R} \mid x \ge 1 \rbrace\)

Q: Wie lautet der Definitionsbereich der abgebildeten Funktion?
A: alle reellen Zahlen \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\)

Q: Wie sähe der Graph der Funktion \(f(x)=x^2\) aus wenn der Definitionsbereich die ganzen Zahlen wären (\(\mathbb{D}=\mathbb{Z}\))?
A: Es wäre eine gepunktete Funktion

Q: Was meint Herr Scholl mit dem Zeichen \(\overset{!}{=}\)?
A: Das bedeutet "soll gleich sein", z.B. wenn man einen Punkt in eine Funktionsgleichung einsetzt um zu prüfen, ob er drauf liegt.

Q: Wie geht die Funktion \(g(x)\) aus der Funktion \(f(x)\) hervor, wenn gilt:\[g(x)=a\cdot f(x)\]
A: Der Graph von f wird mit dem Faktor \(a\) (\(a\ne0)\) in y-Richtung ⬍ gestreckt
Für \(a<0 \) also negative \(a\) wird der Graph an der x-Achse gespiegelt ⬍

Q: Wie geht die Funktion \(g(x)\) aus der Funktion \(f(x)\) hervor, wenn gilt:\[g(x)=f(b \cdot x)\]
A: Der Graph von f wird mit dem Faktor \(\frac1b\) \((b\ne0)\) in x-Richtung ⬌ gestreckt. Also für \(b>1\) gestaucht!
Für \(b<0 \) also negative \(b\) wird der Graph an der y-Achse ⬌ gespiegelt

Q: Wie geht die Funktion \(g(x)\) aus der Funktion \(f(x)\) hervor, wenn gilt:\[g(x)=f(x-c)\]
A: Der Graph von \(f\) wird um \(c\) Einheiten in x-Richtung ⬌ verschoben.

Q: Wie geht die Funktion \(g(x)\) aus der Funktion \(f(x)\) hervor, wenn gilt:\[g(x)=f(x)+d\]
A: Der Graph von f wird um d Einheiten in y-Richtung ⬍ verschoben.

Q: Für Transformationen (Strecken, Verschieben und Spiegeln) ist welche Reihenfolge sinnvoll, wenn mehrere Transformationen durchgeführt werden sollen?
A: Erst strecken und spiegeln, dann verschieben
Sonst würde die Verschiebung auch nochmal gestreckt oder gespiegelt...

Q: Was ist eine Nullstelle?
A: - Der Graph schneidet die x-Achse
- Stelle x mit f(x) = 0, d.h. eine Stelle x an der der Funktionswert gleich 0 ist

Q: Wie werden zwei Klammern multipliziert? z.B. \((a+b)\cdot (c+d)\)
A: "Jedes mit Jedem", d.h.
jeder Summand der einen Klammer mit jedem Summand der anderen Klammer
\((a+b)\cdot (c+d) = a\cdot c + a\cdot d + b\cdot c + b\cdot d\)

Q: Was sind charakteristische Punkte einer ganzrationalen Funktion?
A: - Schnittpunkte mit den Achsen (Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-Achse)
- Extrempunkte (Hochpunkt, Tiefpunkt)
- Maximum / Minimum
- Wendepunkte

Q: Was ist der Unterschied zwischen einem Punkt und einer Stelle?
A: Eine Stelle ist nur die x-Koordinate, ein Punkt hat sowohl die x- als auch die y-Koordinate.

Q: Was sind ganzrationale Funktionen?
A: ganzrationale Funktionen sind Summen aus Potenzfunktionen \[f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1 x + a_0\]Diese Funktionen enthalten Koeffizienten \(a_i , i = 0,1, \dots\) , diese sind irgendwelche reellen Zahlen. Die Exponenten sind natürliche Zahlen.

Q: Was ist ein Koeffizient ?
A: Ein Koeffizient ist eine Vorzahl, z.B. vor der Variable “x”
Beispiel: -0,25·x^3 – 0,5·x^2 + 1,25·x + 1,5

Q: Wie erkenne ich den Grad der ganzrationalen Funktionen?
A: Den Grad erkennt man an dem größten Exponenten aller Potenzen von x.
Beispiel: -0,25x^3 – 0,5x^2 + 1,25x + 1,5 -> Diese Funktion ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades.

Q: Was sind Hoch- und Tiefpunkte im Graphen einer ganzrationalen Funktion? (Allgemein auch Extrempunkte)
A: An Extrempunkten wechselt der Graph die Steigung.
Eine Hochpunkt, ist der Wechsel von positiver zu negativer Steigung in dem Graphen und der Tiefpunkt somit der Wechsel von negativer zu positiver Steigung im Graphen.

Q: Was sind Extremstellen?
A: Extremstellen sind die x-Werte der Extrempunkte, sie werden als Minimalstelle und Maximalstelle bezeichnet.

Q: Wie erkennt man das lokale Extremum einer ganzrationalen Funktion?
A: Wenn ein Tiefpunkt vorliegt, dann ist er in seiner Umgebung der tiefste Punkt und wird dann auch als lokales Minimum bezeichnet. Das ist beim lokalen Maximum genauso, wenn ein Hochpunkt in seiner Umgebung der höchste ist.
Hinweis: Eine Umgebung ist ein Intervall um die Stelle des Punktes, z.B. wenn die Stelle -3 ist , dann wäre ein Intervall [-3.5 , -2.5] eine Umgebung um die Stelle 3

Q: Wie erkennt man das globale Extremum einer ganzrationalen Funktion?
A: Nur wenn ein Tiefpunkt auch der niedrigste Punkt des gesamten Graphen ist, wird er globales Minimum genannt. Das Globale Maximum ist dann der höchste Punkt des gesamten Graphen.
Hinweis: Der Graph im Beispiel hat kein globales Minimum

Q: Was bedeutet die Schreibweise \[\lim_{x \to +\infty}f(x) \to \infty\]?
A: Es bedeutet, dass der Funktionswert immer größer wird (gegen unendlich strebt), wenn x immer größer wird (gegen plus unendlich strebt)
Bildlich gesprochen: der rechte "Arm" der Funktion geht nach oben, sie "verschwindet" im ersten Quadranten (so wie \(x^2\))
Lies: Limes von f von x für x gegen plus unendlich strebt (läuft gegen) unendlich

Q: Wie hängen Kosten, Gewinn und Umsatz zusammen?
A: Gewinn ist Umsatz minus Kosten \(G(x) = U(x)-K(x)\)

Q: Wie ist die Standardfunktion für den Umsatz beim Verkauf eines Produkts?
A: \(U(x)=p\cdot x\), wobei \(p\) der Preis des Produktes ist und \(x\) die Stückzahl

Q: Woran kann das Grenzverhalten für \(x\to\pm\infty\) einer ganzrationalen Funktion abgelesen werden?
A: An dem Summanden mit dem höchsten Exponenten - er bestimmt das Grenzverhalten im Unendlichen.

Q: Woran erkennt man das Verhalten einer ganzrationalen Funktion im Bereich um die y-Achse?
A: Man schaut sich die kleinsten Potenzen an, z.B. bei \(f(x) = -x^4+3x-2\) ist der Verlauf nahe der y-Achse wie eine Gerade: \(y = 3x-2\)

Q: Welche Symmetrie hat eine Funktion für die gilt \(f(-x)=-f(x)\)?
A: Punktsymmetrie zum Ursprung, denn
z.B. der Funktionswert \(f(-5)\) an der Stelle -5 entspricht dem negativen Funktionswert an der Stelle 5: \(-f(5)\)

Q: Welche Symmetrie hat eine Funktion für die gilt \(f(-x)=f(x)\)?
A: Achsensymmetrie zur y-Achse, denn
z.B. der Funktionswert \(f(-5)\) an der Stelle -5 entspricht dem Funktionswert \(f(5) \)an der Stelle 5

Q: Was ist die Kontraposition (Umkehrung - nicht das Gegenteil) der Aussage: Wenn A, dann B \((A\Rightarrow B)\)?
Beispiel: Wenn es regnet ist die Strasse nass
A: Die Kontraposition ist Wenn nicht B dann nicht A \((\neg B\Rightarrow\neg A)\)
Wenn die Strasse nicht nass ist, regnet es auch nicht
Achtung: Nicht wenn es nicht regnet ist die Strasse nicht nass - das kann Falsch sein!

Q: Welche Verfahren gibt es, die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion aus der Funktionsgleichung zu bestimmen?
A: - Wenn die Linearfaktoren vorliegen, kann man die Nullstellen ablesen \(f(x)=3(x-2)²\cdot (x+3)\).
- Ansonsten kann man durch Ausklammern den Grad verringern. \(f(x)=3x^3-x = x(3x^2-1)\)
- Man verwendet den Nullproduktsatz: "Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren null ist"\(x(3x^2-1)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee 3x^2-1=0\)
- Bei einer ganzrationalen Funktion vom Grad 2: pq-Formel oder ähnliches.
Fortgeschritten: Nullstelle Raten - Polynomdivision \(x^3-2x^2+1\) hat die Nullstelle \(x=1\). Man kann also durch den Linearfaktor \((x-1) \) teilen \(x^3-2x^2+1=(x-1)\cdot (x^2-x-1)\). Nun kann man den Nullproduktsatz mit pq-Formel anwenden: \(x=1\vee x=\frac12\pm\sqrt{\frac14+1}\)

Q: Was bedeutet dieses Zeichen?: \(\vee\)
A: Das steht für oder: \(x=1\vee x=2\)
Lies x gleich 1 oder x gleich 2

Q: Was bedeutet dieses Zeichen?: \(\wedge\)
A: Das steht für und: \(x>1\wedge x<2\)
Lies x größer 1 und x kleiner 2,
also \(1<x<2\) oder \(x\in(1,2)\)

Q: Was ist eine ungerade Funktion?
A: Eine Funktion die punktsymmetrisch zum Ursprung ist (z.B. sin(x) oder x³)

Q: Was ist eine gerade Funktion?
A: Eine Funktion die Achsensymmetrisch zur y-Achse ist (z.B. cos(x) oder x²)

Q: Was für eine Funktion ist das Produkt aus einer gerade und einer ungeraden Funktion?
A: Eine ungerade Funktion
Hinweis: ähnlich wie bei "Minus mal Minus ergibt plus"

Q: Was für einer Funktion ergibt sich als Produkt zweier ungerader Funktionen?
A: Eine gerade Funktion
Hinweis: Ähnlich wie bei "Minus mal Minus gibt Plus"

Q: Wie lautet die dritte binomische Formel?
A: \((a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2\)

Q: Welche Nullstellen hat die Funktion \(f(x)=(x^2-4)^2\) ?
A: Sie hat die Nullstellen 2 und -2, da man die Funktion aufgrund der dritten binomischen Formel schreiben kann als:
\(f(x) = (x-2)(x+2)(x-2)(x+2)=(x-2)^2(x+2)^2\)

Q: Wie nennt man die folgende Darstellung einer ganzrationalen Funktion und welchen Vorteil hat sie gegenüber anderen Darstellungen?\[f(x)=3(x-2)(x+3)^2\]
A: Es handelt sich um eine Darstellung in Linearfaktoren - hier kann man gut die Nullstellen ablesen. Diese liegen bei \(x=2\) und eine doppelte Nullstelle bei \(x=-3\)

Q: Was ist ein Linearfaktor?
A: Ein Faktor, der Form \((x+c)\) mit einer reellen Zahl \(c \in \mathbb{R}\)

Q: Was ist ein Beweis und woraus besteht er meistens?
A: Ein Beweis ist ein logisch aufgebautes Argument, das zeigt, dass eine Aussage wahr ist.
Bestandteile:
- Aussage: Der zu beweisende Sachverhalt. Sie besteht aus
Voraussetzungen: Gegebene oder als wahr angenommene Bedingungen.
Behauptung: Was gezeigt werden soll.
- Logik: Nutzung logischer Regeln und Schlussfolgerungen, um die Behauptung aus den Voraussetzungen herzuleiten.
Ziel: Gewissheit über die Wahrheit der Aussage.

Q: Was versteht man unter Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten?
A: - Vorwärtsarbeiten:
  - Ausgangspunkt (z. B. eine Gleichung) schrittweise zielorientiert Richtung Lösung umformen
  - Fokus auf korrekten Rechenregeln bei jeder Umformung.
- Rückwärtsarbeiten:
  - Vom Ziel (z. B. gewünschte Lösung oder Form) ausgehen und überlegen, welche Schritte zur Ausgangsgleichung führen könnten.
  - Hilft, die Lösungsidee oder angemessene Rechenschritte zu entwickeln.
Hinweis: Beide Techniken werden oft kombiniert, um komplexe Gleichungen effizient zu lösen. Und helfen auch bei Beweisen

Q: Was hat ein Linearfaktor mit einer Nullstelle zu tun?
A: Bei einer ganzrationalen Funktion gibt es zu jeder Nullstelle einen entsprechenden Linearfaktor
z.B. gehört zur Nullstelle \(x=-2\) der Linearfaktor \((x+2)\)

Q: Wie viele Nullstellen kann eine ganzrationale Funktion 4. Grades höchstens haben?
A: Sie kann höchstens vier Nullstellen haben, da sie aus höchstens vier Linearfaktoren bestehen kann.

Q: Wie bestimmt man mit dem Taschenrechner die Nullstellen einer Funktion?
A: Entweder kann man in einem Rechendokument (auch Scratchpad) die Funktion zeros nutzen
zeros(f(x),x) - dies geht auch über das Menü-> 3(Algebra)-> Nullstellen

Q: Man teilt durch einen Bruch, indem man ...
A: ... mit dem Kehrwert malnimmt
Beispiel: \(\begin{array}{rl} \frac12x^2-x-4&=0 \qquad|:\frac12 \Leftrightarrow\cdot 2 \\ x^2-2x-8&=0 \end{array}\)

Q: Was ist die Besonderheit einer doppelten Nullstelle?
A: Der Graph der Funktion berührt die x-Achse an dieser Stelle nur, er schneidet sie nicht. Der Linearfaktor ist doppelt in der Funktionsgleichung enthalten.
\(f(x)=\frac12(x+1)\cdot (x-2)^2\)

Q: Wo ist der Unterschied, wenn man eine Summe bzw. ein Produkt durch 2 teilt?
\((8a+3b+2c+d):2\) oder \((8a\cdot 3b\cdot 2c\cdot d):2\)
A: Bei der Summe muss jeder Summand durch zwei geteilt werden, bei dem Produkt genügt es, einen Faktor durch zwei zu teilen (wenn das geht...)
\((8a+3b+2c+d):2=4a+\frac32 b + c +\frac12d\) bzw.
\((8a\cdot 3b\cdot 2c\cdot d):2 = 4a \cdot 3b\cdot 2c \cdot d = 24abcd\)

Q: Bei welchem Funktionstyp gibt es eine einzige Steigung und diese Steigung taucht auch als Vorfaktor (Koeffizient) auf?
A: Nur bei Geraden: \(f(x)=y=m\cdot x+b\)
Diese Funktionen haben überall die gleiche Steigung -
Bei anderen Funktionen von Koeffizienten, Vorfaktoren oder auch Streckungs- bzw. Stauchungsfaktoren sprechen

Q: Anhand welcher Merkmale kann man die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion mit dem Graphen vergleichen?
A: - Grenzverhalten im Unendlichen (Arme und höchste Potenz)
- Verhalten nahe 0 (kleinste Potenz - aussehen im Bereich der y-Achse)
- y-Achsenabschnitt (siehe auch Verhalten Nahe 0)
- Manchmal auch Nullstellen (Linearfaktoren)
- ggf. auch Symmetrie prüfen (ungerade Exponenten - punktsymm...)

Q: Was ist der Unterschied zwischen ungerader Funktion und ungeradem Grad bei einer ganzrationalen Funktion?
A: Bei einer ungeraden Funktion sind alle(!) Exponenten ungerade und die Funktion ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung.
Bei ungeradem Grad ist nur der größte Exponent (der Grad) ungerade.

Q: Wie hängen Steigungswinkel \(\alpha\) und Steigung \(m\) einer Geraden zusammen?
A: \(m = \tan (\alpha)\)

Q: Wie bestimmt man die Steigung \(m\) aus zwei Punkten?
A: Man berechnet den Höhenunterschied durch den Horizontalunterschied
\(m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}\)

Q: Was ist das für ein Buchstabe und welche Bedeutung hat er \(\Delta\) ?
A: Das große Delta wird oft für eine Differenz verwendet
\(\Delta y = y_2-y_1\)

Q: Was versteht man unter der Änderungsrate?
A: Die "Geschwindigkeit" mit der sich eine Größe ändert.
Ist sie positiv so nimmt die Größe zu, je größer um so schneller.

Q: Was ist eine Tangente?
A: Eine Gerade (unendlich) die ein Objekt berührt (nicht schneidet)

Q: Was ist eine Passante?
A: Eine Gerade, die an einem Objekt vorbei läuft.

Q: Was ist eine Sekante?
A: Eine Gerade, die ein Objekt schneidet (secare - schneiden)

Q: Wie bestimmt man den Steigungswinkel einer Geraden?
A: Es gilt \(m=\tan(\alpha)\). Mit \(m\) ist die Steigung der Geraden und \(\alpha\) der Steigungswinkel

Q: Wie hängen die Ableitung und Tangente zusammen?
A: Die Ableitung an einer Stelle ist die Steigung der Tangente an die Funktion an dieser Stelle.

Q: Welche geometrische Idee steckt hinter der Bestimmung der Ableitung durch Grenzwertbildung des Differenzenquotienten (Differentialquotient)?
A: Der Differenzenquotient (Höhenunterschied durch Horizontalunterschied) bestimmt die Steigung einer Sekante. Läßt man nun die beiden Punkte der Sekante die auf der Funktion liegen immer näher zusammenrücken, so wird die Sekante zur Tangenten. Die Steigung der Sekanten nähert sich also immer mehr der Steigung der Tangenten an.

Q: Wie liest man \(f'(x)\)? Und was bedeutet das?
A: f Strich von x ist die Ableitung der Funktion \(f\) an der Stelle x, also die Steigung der Tangente an die Funktion oder auch die Änderungsrate

Q: Wie lautet der Differentialquotient in \(h\)-Schreibweise zur Bestimmung der Ableitung an einer Stelle \(x_0\)?
A: \(\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\)
h wird immer kleiner

Q: Wie lautet die Punkt-Steigungsform einer Geraden?
A: \(y=m\cdot (x-p_x)+p_y\) ist die Gerade durch den Punkt \(P(p_x|p_y)\) mit der Steigung \(m\)
Kann man sich so erklären, dass die Ursprungsgerade \(y=m\cdot x\) in den Punkt P verschoben wurde. \(p_x\) nach rechts und \(p_y\) nach oben.