Title: MatheGKEF2018 / Übungen
Tags: Wurzel K7 F.R. K.H. KAufg K.B. L.H. L.M. N.M. O.G. S.H. TermeGleichungen Y.E. A.L. A.W. Aufg B.T. J.C. N.R. U.Y. periodischeZahlen sAufg F.K. M.K. M.N. S.K. F.S. L.D. M.J. M.M.

Q: Um welche Art von Zuordnung handelt es sich? Bestimme das Ergebnis:
Ein Stapel aus 20 Büchern ist 32cm hoch. Wie hoch wäre ein Stapel aus 50 Büchern?
A: Es ist eine proportionale Zuordnung. Der Stapel wäre 80cm hoch

Q: Zwei Bagger heben eine Baugrube in zehn Stunden aus. Wie lange würden 5 Bagger für die Grube brauchen?
A: [latex]\begin{tabular}[ht]{|c|c|}
  \hline
  Bagger & Zeit\\
  \hline\hline
  2 & 10h\\
  1 & 20h\\
  5 & 4h\\
  \hline
\end{tabular}[/latex]
5 Bagger würden 4 Stunden benötigen. (Antiproportionale Zuordnung)

Q: Zwei Bagger heben eine Baugrube in zehn Stunden aus. Wie viele Bagger müsste man nach 6 Stunden Arbeitszeit holen, damit die Grube in der nächsten Stunden vollständig ausgehoben wird?
A: Die beiden Bagger hätten noch 4 Stunden gebraucht. Es handelt sich um eine antiproportionale Zuordnung:
[latex]
\begin{tabular}[ht]{c|c}
  Bagger & Zeit\\
  \hline
  2 & 4h\\
  \hline
  8 & 1h\\
\end{tabular}
[/latex]
Es werden 8 Bagger benötigt um in einer Stunde fertig zu werden. Somit müssen noch 6 Bagger geholt werden.

Q: Eine Zahl wird um 35% verkleinert und man erhält 288,6. Wie heißt die Zahl?
A: [latex]65\% sind 288,6. Der Grundwert ist also \\
$ G=\frac{W}{p}=\frac{288,6}{0,65}=444 $. \\
Die Zahl lautet 444.[/latex]

Q: Welche Zahl ist um 15% größer als 240 ?
A: [latex]$115\% \cdot 240=1,15\cdot 240 = 276$\\
Die Zahl 276 ist um 15\% größer als 240[/latex]

Q: Wie viel Prozent sind 272 von 680?
A: [latex]$p=\frac{272}{680}=0,4=40\%$[/latex]

Q: Um welchen Winkel steigt eine Straße mit der Steigung von 100%
A: 45°

Q: Gib den Anteil der gefärbten Fläche an:
A: [latex]$\frac{3}{7}$[/latex]

Q: s+s+s+s
A: 4s

Q: x+x+2x+x
A: 5x

Q: t+t+2t+t
A: 5t

Q: x-x+x-x
A: 0

Q: k+k+k-k-k
A: k

Q: x:8=5
A: x=40

Q: Mit welcher Äquivalenzumformungen bringt man alle Terme mit x auf die linke Seite und welche Gleichung erhält man dann?
13x+15=12-7x
A: Äquivalenzumformung: +7x
man erhält: 20x+15=12

Ziel: löst man nach x auf
Gleichung: -91=-13x
Umformung: :(-13)
Zielgleichung: 7=x

Ziel: löst man die Klammern auf?
Gleichung: 5(3+x)-17=2(5-2x)
Umformung: Termvereinfachung
Zielgleichung: 15+5x-17=10-4x

Ziel: stellt man die Terme mit x alleine
Gleichung: 4x+20=100
Umformung: -20
Zielgleichung: 4x=80

Q: Eine Dezimalzahl ist rational, wenn sie ...
A: abbricht oder periodisch ist

Q: Ein Bruch ist rational oder irrational?
A: rational

Q: Wie funktioniert eine Intervallschachtelung?
A: Man sucht nach immer kleineren Intervallen (Zahlbereichen), in denen die gesuchte Zahl liegt, z.B.
[$]\sqrt{2}[/$] liegt zwischen 1 und 2, da [$]1^2=1<2<2^2=4[/$]
[$]\sqrt{2}[/$] liegt zwischen 1,4 und 1,5, da [$]1,4^2=1,96<2<1,5^2=2,25[/$]

Q: Die Diagonale in einem Quadrat mit der Kantenlänge 1 hat die Länge
A: [$]\sqrt{2}[/$]

Q: Das Quadrat mit der Kantenlänge d hat einen ... so großen Flächeninhalt wie das Quadrat mit der Kantenlänge a
A: doppelt

Q: Ist die Zahl rational oder irrational?
0,101001000100001000001...
A: irrational

Q: Ist die Zahl rational oder irrational?
0,10201020102010201020...
A: rational [$]0,\overline{1020}=\frac{1020}{9999}[/$]

Q: [$]0,\overline{5}[/$]
A: [$]\frac{5}{9}[/$]

Q: [$]3,\overline{2}[/$]
A: [$]3+\frac{2}{9}=\frac{29}{9}[/$]

Q: [$]0,0\overline{3}[/$]
A: [$]\frac{3}{90}=\frac{1}{30}[/$]

Q: [latex]$\sqrt{x^2}$[/latex]
A: [latex] $ \left| x \right| $ [/latex]

Q: Ziehe teilweise die Wurzel: [latex] $ \sqrt{27} $ [/latex]
A: [latex] $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt3$ [/latex]

Q: √(12)
A: √(12) = √(4 * 3) = 2√(3)

Q: [latex]$\sqrt{2}\cdot \sqrt{18}$[/latex]
A: [latex]$=\sqrt{2\cdot18}=\sqrt{36}=\sqrt{6}$[/latex]

Q: [latex]$\sqrt{r}\cdot\sqrt{r^3}$[/latex]
A: [latex]$=\sqrt{r\cdot r^3}=\sqrt{r^4}=r^2$[/latex]

Q: [latex]$\sqrt{3s}\cdot\sqrt{3s^3}$[/latex]
A: [latex]$=\sqrt{3\cdot s\cdot 3 \cdot s^3}=\sqrt{9\cdot s^4}=3\cdot s^2$[/latex]

Q: [latex]$\sqrt{2\cdot 50}$[/latex]
A: [latex]=10[/latex]

Q: [latex]$\sqrt{25}+\sqrt{11}$[/latex]
A: [latex]Nein es ist nicht $\sqrt{36}=6$, \\ sondern $5+\sqrt{11}\approx 5+3,3=8,3$[/latex]

Q: Was ist das Distributivgesetz?
A: Das Verteilungsgesetz - Ein Vorfaktor wird auf die Summanden in der Klammer verteilt. Beispiel:
[latex]$4\cdot (3 + 2)=4\cdot 3 + 4\cdot 2 = 12 + 8 = 20$[/latex]

Q: Was ist eine rationale Zahl?
A: eine Zahl, die man als Bruch schreiben kann, oder
eine Zahl mit einer abbrechenden oder periodischen Kommadarstellung

Q: Was ist eine irrationale Zahl?
A: Eine unvernünftige Zahl, das heißt eine Zahl mit einer
nicht endenden und nicht periodischen Kommadarstellung.

Q: Was darf nicht unter einer Wurzel stehen?
A: Eine negative Zahl

Q: [latex]$\sqrt{20}\cdot\sqrt{20}$[/latex]
A: 20

Q: [latex]$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}$[/latex]
A: [latex]=a[/latex]

Q: [latex]$\sqrt{2\cdot 8}$[/latex]
A: [latex]$=\sqrt{16}=4$[/latex]

Q: [latex]$\sqrt{8\cdot s^3}\cdot \sqrt{2\cdot s^5}$[/latex]
A: [latex]$=\sqrt{8\cdot 2\cdot s^8}=4\cdot s^4$[/latex]

Q: Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung haben?
A: keine, eine oder zwei

Q: [latex]$\sqrt{16}$[/latex]
A: 4

Q: Was ist der Betrag einer Zahl?
A: Der Betrag einer Zahl idt der positive Wert einer Zahl und wird durch [latex]$| x |$[/latex] gekennzeichnet, z.B. [latex]$|-5|=5$[/latex]

Q: Was ist eine Kubikwurzel?
A: Eine Kubikwurzel oder auch n-te Wurzel ist die Zahl, die 3 mal (oder n mal) mit sich selbst multipliziert den Radikanten ergibt. Beispiel: [latex]$\sqrt[3]{4096}=16$, denn $16\cdot 16\cdot16=4096$[/latex]

Q: [latex]$\sqrt{196}$[/latex]
A: 14

Q: [latex]$\sqrt{400}$[/latex]
A: 20

Q: [latex] $ \sqrt{ \frac{4}{ 3}} \cdot\sqrt{27}$[/latex]
A: [latex]$=\sqrt{\frac{4}{3}\cdot\frac{27}{1}}=\sqrt{36}=6$[/latex]

Q: [latex]$\sqrt{64}$[/latex]
A: 8

Q: [latex]$\sqrt[5]{32}$[/latex]
A: 2

Q: [latex]$\sqrt[7]{1}$[/latex]
A: 1

Q: [latex]$\sqrt[3]{1331}$[/latex]
A: [latex]$11$, denn $11\cdot 11\cdot 11 = 1331$[/latex]

Q: Was sind die Wurzeln aus den Zahlen 64, 121, 256, 625, 1/4, 64/9
A: [latex]$\sqrt{64}=8, \sqrt{121}=11, \sqrt{256}=16, \sqrt{625}=25, \sqrt{ \frac14}=\frac12, \sqrt{\frac{64}{9}}=\frac83$[/latex]

Q: Ist 1,234567891011... eine irrationale Zahl?
A: Ja, denn sie hört nicht auf und wiederholt sich nicht

Q: Ist 2,666666... eine irrationale Zahl?
A: Nein, denn sie hat eine Wiederholung/Periode: [latex]$2,66... = 2,\overline{6}=2\frac69=\frac{24}{9}$[/latex]

Q: [latex]$\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}+\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}$[/latex]
A: [latex]$=5+6=11$[/latex]

Q: Wie lang ist die Diagonale in einem Quadrat mit Kantenlänge a?
A: [latex]$\sqrt{2}\cdot a$[/latex]

Q: Wie heißt [latex]$\sqrt[3]{ }$[/latex]
A: Kubikwurzel

Q: Schreibe als Bruch: [latex]$0,\overline{3}$[/latex]
A: [latex]$0,\overline{3}=\frac39=\frac13$[/latex]

Q: Berechne [latex]$\sqrt{2^2}\cdot \sqrt{2\cdot 2}$[/latex]
A: [latex]$=2\cdot 2 = 4$[/latex]

Q: Was muss eine Zahl sein/tun um rational zu sein?
A: Sie muss abbrechend oder periodisch sein.

Q: Schreibe als Bruch 6,29001
A: [latex]$\frac{629001}{100000}$[/latex]

Q: Schreibe als Dezimalzahl: [latex]$\frac54$[/latex]
A: 1,25

Q: [latex]$\sqrt{4}+\sqrt{4^2}-\sqrt{9}$[/latex]
A: [latex]$=2+4-3=3$[/latex]

Q: Was ist [latex]$3^3$[/latex]
A: [latex]$=3\cdot 3\cdot 3=27$[/latex]

Q: [latex]$2\sqrt{9}+9\sqrt{9}$[/latex]
A: [latex]$=11\sqrt{9}=11\cdot 3 = 33$[/latex]

Q: Gib einen Näherungswert für die Wurzel von 2 an
A: [latex]$\sqrt{2}\approx 1,414213562$[/latex]

Q: Löse die quadratische Gleichung [latex]$x^2=4$[/latex]
A: [latex]$\Leftrightarrow x=2$ oder $x=-2 \Leftrightarrow x=\pm 2 $[/latex]

Q: Bestimme die Quadrate von 9; 7; 10; 15; 0,1; 3 und 80
A: [latex]$9^2=81; 7^2=49; 10^2=100; 15^2=225; 0,1^2=0,01; 3^2=9; 80^2=6400$[/latex]

Q: Wie geht das teilweise Wurzelzeihen (Radizieren)?
A: Man zerlegt den Radikanden in ein Produkt mit mindestens einer Quadratzahl als Faktor, aus diesem Faktor kann dann die Wurzel gezogen werden. Beispiel:
[latex]$\sqrt{63}=\sqrt{9\cdot 7}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{7}=3\cdot \sqrt{7}$[/latex]

Q: Vereinfache die folgenden Terme:
[latex]$\sqrt{32} : \sqrt{8}\\ \sqrt{98} : \sqrt{2}\\ \sqrt{180} : \sqrt{5}\\ \sqrt{52} : \sqrt{0,13}$[/latex]
A: [latex]$\sqrt{32} : \sqrt{8}=\sqrt{4}=2 \\ \sqrt{98} : \sqrt{2}=\sqrt{49}=7 \\ \sqrt{180} : \sqrt{5}=\sqrt{36}=6\\ \sqrt{52} : \sqrt{0,13}=\sqrt{52 : \frac{13}{100}} = \sqrt{52\cdot \frac{100}{13}} = \sqrt{4 \cdot 100 }=2\cdot 10=20$[/latex]

Q: [latex]$\sqrt{75}$[/latex]
A: [latex]$=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$[/latex]

Q: [latex]$\sqrt[4]{81}$[/latex]
A: [latex]$=3, \mbox{ denn } 3^4=81$[/latex]

Q: Löse die Gleichung [latex]$\sqrt{4}\cdot x = 21$[/latex]
A: [latex]$\Leftrightarrow 2x=21\Leftrightarrow x=10,5$[/latex]

Q: [latex]$\sqrt{a^2}$[/latex]
A: [latex]$|a|$[/latex]

Q: [latex]$22\sqrt{5}+63\sqrt{5}$[/latex]
A: [latex]$85\sqrt{5}$[/latex]

Q: [latex]$x^2=1$[/latex]
A: [latex]$\Leftrightarrow x=1 \mbox{ oder } x=-1$[/latex]

Q: Mit welchem Verfahren kann man eine Wurzel (z.B. Wurzel aus 3) bestimmen?
A: Mit einer Intervallschachtelung

Q: [latex]$\sqrt{\frac{64}{9}}$[/latex]
A: [latex]$=\frac83$[/latex]

Q: Wandle in einen Bruch: 0,635
A: [latex]$=\frac{635}{1000}=\frac{127}{200}$[/latex]

Q: [latex]$\sqrt[3]{8}$[/latex]
A: 2

Q: Was ist ein Radikand?
A: Der Term unter dem Wurzelzeichen.

Q: Bestimme zwei ganze Zahlen zwischen denen [latex]$\sqrt[3]{250}$[/latex] liegt.
A: [latex]$\sqrt[3]{250}$ liegt zwischen $6$ und $7$, denn $6^3=216$ und $7^3=341$[/latex]

Q: Wurzel aus 2 liegt im Interval zwischen den ganzen Zahlen ...
A: 1 und 2

Q: [latex]$\sqrt{4,41}$[/latex]
A: [latex]$=2,1$[/latex]

Q: Kann eine irrationale Zahl in einen Bruch umgewandelt werden?
A: Nein

Q: [latex]$\sqrt{a^2}:\sqrt{a}$[/latex]
A: [latex]$=\sqrt{a^2:a}=\sqrt{a}$[/latex]

Q: Schreibe [latex]$\frac39$[/latex] als Kommazahl (Dezimalzahl)
A: [latex]$\frac{3}{9}=0,\overline{3}$[/latex]

Q: Ist [latex]$\frac99$[/latex] periodisch oder abbrechend?
A: Abbrechend! Es gilt zwar [latex]$\frac99 = 0,\overline{9}$[/latex] aber dies ist gleich 1 also eine abbrechnde Kommazahl.

Q: Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats, dessen Seiten 2cm lang sind? Gib auch einen Näherungswert an.
A: [latex]$2\cdot \sqrt{2} cm \approx 2,82 cm$[/latex]

Q: Welche Wurzel ist "falsch" ?
[latex]$-\sqrt{16}$ oder $\sqrt{-16}$[/latex]
A: [latex]$\sqrt{-16}$[/latex], denn es darf nichts negatives unter der Wurzel stehen.

Q: Zerlege [latex]$\sqrt{48}$[/latex] mit der dir bekannten Primfaktorzerlegung
A: [latex]$\sqrt{48}=\sqrt{2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2\cdot 2} \cdot \sqrt{2\cdot 2} \cdot \sqrt{3}=2\cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot \sqrt{3}$[/latex]

Q: [latex]$\sqrt{10s}\cdot \sqrt{10s^3}$[/latex]
A: [latex]$=\sqrt{10s\cdot 10s^3}=\sqrt{100s^4}=10s^2$[/latex]

Q: [latex]$\sqrt{289}-12=\sqrt{x}:\sqrt{5}$[/latex]
Bestimme x
A: [latex]$\Leftrightarrow17-12=\sqrt{x:5}\Leftrightarrow 5=\sqrt{x:5}\Leftrightarrow 25=x:5\Leftrightarrow x=125$[/latex]

Q: Bestimme die Potenzen [latex]$5^2$ und $8^3$[/latex]
A: [latex]$5^2=25$ und $8^3=64\cdot 8 = 512$[/latex]

Q: Was ist eine Quadratwurzel?
A: Die Zahl die mit sich selbst multipliziert den Radikanden ergibt.

Q: [latex]$\sqrt{48}+4\sqrt{3}$[/latex]
A: [latex]$=4\sqrt{3}+4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$[/latex]

Q: Der Term unter der Wurzel wird auch ... genannt
A: Radikand

Q: [latex]$\sqrt{(-4)^2}$[/latex]
A: [latex]$=\sqrt{16}=4$[/latex]

Q: [latex]$\sqrt{-4}$[/latex]
A: geht nicht, da nichts negatives unter der Wurzel stehen darf.

Q: Für welches b hat die folgende Gleichung nur eine Lösung: [latex]$x^2-b=7$[/latex]
A: [latex]$\Leftrightarrow x^2=7+b$[/latex]. Diese Gleichung hat nur eine Lösung, wenn auf der rechten Seite eine 0 steht, also für [latex]$b=-7$[/latex]

Q: [latex]$14\sqrt{7}+3\sqrt{7}$[/latex]
A: [latex]$=17\sqrt{7}$[/latex]

Q: Welche 2 Arten von rationalen Zahlen gibt es?
A: abbrechende und periodische

Q: [latex]$\sqrt{6}\cdot \sqrt{54}$[/latex]
A: [latex]$=\sqrt{6\cdot 6 \cdot 9}=6\cdot 3 = 18$[/latex]

Q: [latex]$0,1^2$[/latex]
A: [latex]$=0,01$[/latex]

Q: Berechne: [latex]$\frac{\sqrt{432}}{\sqrt{3}}$[/latex]
A: [latex]$\sqrt{\frac{432}{3}}=\sqrt{144}=11$[/latex]

Q: Berechne: [latex]$\sqrt{\frac{225}{0,04}}$[/latex]
A: [latex]$=\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{0,04}}=\frac{15}{0,2}=\frac{150}{2} = 75$[/latex]

Q: Ist 1,2346952346952... eine irrationale Zahl?
A: Nein, denn die Nachkommastellen wiederholen sich.

Q: [latex]$\sqrt[7]{128}$[/latex]
A: 2

Q: Was ist der nächste sinnvolle Schritt bei der Äquivalenzumformung?
[$](x+5)^2 = 16[/$]
A: Wurzelziehen (Achtung plus/minus)
[$](x+5) = \pm 4[/$]
Die Klammer kann dann auch weggelassen werden.

Q: Wende die pq-Formel an
[$]x^2 - \frac{1}{3}x-\frac{2}{9}[/$]
A: [$]x = \frac{1}{6} \pm \sqrt{ \left ( \frac16 \right )^2 + \frac29}[/$]

Q: Berechne den Term unter der Wurzel im Kopf
[$]x = \frac{1}{6} \pm \sqrt{ \left ( \frac16 \right )^2 + \frac29}[/$]
A: Das Quadrat ergibt 1/36 . Der Bruch 2/9 wird mit 4 erweitert um ebenfalls auf 36stel zu kommen:
[$]\frac1{36}+\frac8{36}=\frac{9}{36}[/$]