Title: MatheGKEF2018 / EF-Stoff
Tags: S171 Grundlagen Kurvendiskussion S50 S36 S58 S11 S40 S46 S69 S45 S54 S55 TermeGleichungen Aufg SEKII

Q: Ein Produkt ist Null, wenn ...
A: einer der Faktoren Null ist.

Q: Wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, ...
A: dreht sich das Ungleichheitszeichen um.
(aus größer wird kleiner und umgekehrt)

Q: Wie lautet die allgemeine Geradengleichung?
A: [latex]$y=m\cdot x +b$[/latex]

Q: Wie berechnet man die Steigung m einer Geraden?
A: [latex]$m=\frac{ Höhenunterschied}{Horizontalunterschied}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$[/latex]

Q: Bestimme die Steigung der Geraden
durch die Punkte
[latex]$P(1|1)$ und $Q(3|2)$[/latex]
A: [latex] $ m = \frac{2-1}{3-1} = \frac{1}{2} $[/latex]

Q: Wie zeichnet man die Gerade mit der Gleichung
[latex]$y=3x-2$[/latex]
A: Man zeichnet zunächst den y-Achsenabschnitt -2 ein und dann geht man eine Einheit zur Seite und drei Einheiten nach oben (Steigung m=3).

Q: Wie prüft man auf Punktsymmetrie zum Ursprung?
A: Es muss gelten f(-x)=-f(x).
Bei einer ganzrationalen Funktion, bzw. einem Polynom müssen alle Exponenten ungerade sein.
Bemerkung. Es gilt [$]x=x^1[/$]

Q: Wie bestimmt man den Schnittpunkt zweier Funktionen?
A: Durch Gleichsetzen (f(x) = g(x)).
Wenn man nach x auflöst erhält man die Schnittstelle. Diese setzt man dann in f(x) oder g(x) ein um den y-Wert des Schnittpunkts zu erhalten.

Q: Wie bestimmt man den y-Achsenabschnitt?
A: Man bestimmt f(0)

Q: Wie sieht die folgende Funktion aus und welche Funktionen haben einen ähnlichen Verlauf?
[$]f(x)=x^2[/$]
A: Alle Funktionen mit einem Geraden Exponenten und einen positiven Vorfaktor haben einen ähnlichen Verlauf, z.B.
[$]g(x)=3\cdot x^6[/$]

Q: Wie erhält man die Nullstellen einer Funktion?
A: Man setzt die Funktion gleich 0 (f(x)=0) und löst nach x auf.
Auch: Schnittpunkte mit der x-Achse

Q: Wie sieht die folgende Funktion aus und welche Funktionen haben einen ähnlichen Verlauf?
[$]f(x)=x^3[/$]
A: Alle Funktionen mit einem ungeraden Exponenten und einen positiven Vorfaktor haben einen ähnlichen Verlauf, z.B.
[$]g(x)=4\cdot x^7[/$]

Q: Wie sieht die folgende Funktion aus und welche Funktionen haben einen ähnlichen Verlauf?
[$]f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}[/$]
A: Alle Funktionen mit einer ungeraden Potenz von x im Nenner und einer positiven Zahl im Zähler (oder Vorfaktor) haben einen ähnlichen Verlauf, z.B.
[$]g(x)=\frac{3}{x^7}[/$]

Q: Wie sieht die folgende Funktion aus und welche Funktionen haben einen ähnlichen Verlauf?
[$]f(x)=\frac{1}{x^2}=x^{-2}[/$]
A: Alle Funktionen mit einer geraden Potenz von x im Nenner und einer positiven Zahl im Zähler (oder Vorfaktor) haben einen ähnlichen Verlauf, z.B.
[$]g(x)=\frac{3}{x^6}[/$]

Q: Wie lauten die Logarithmengesetze?
A: [$]log_a(u\cdot v)=log_a(u)+log_a(v)[/$]
[$]log_a(\frac{u}{v})=log_a(u)-log_a(v)[/$]
[$]log_a(u^v)=v\cdot log_a(u)[/$]
[$]log_a(b)=\frac{log_c(b)}{log_c(a)}[/$]
Oder in Worten:
* Der Logarithmus einen Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren
* Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen aus Divident und Divisor.
* Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten mal dem Logarithmus der Basis (oder kurz: Ein Exponent im Logarithmus kann als Vorfaktor geschrieben werden)

Q: Wie lauten die binomischen Formeln?
A: [$](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/$]
[$](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/$]
[$](a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2[/$]

Q: Wie lautet die allgemeine Gleichung einer Funktion zweiten Grades (Parabel)?
A: [$]f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x +c[/$]
oder in Scheitelpunktform
[$]f(x)=a\cdot(x-d)^2+e[/$]
Dabei liegt der Scheitelpunkt im Punkt S(d|e)

Q: Wie lautet die Gleichung einer zur y-Achse symmetrischen ganzrationalen Funktion (z.B. vierten Grades)?
A: Die Funktion enthält nur gradzahlige Exponenten und ein absolutes Glied ([$]x^0[/$]), z.B.
[$]f(x)=ax^4+bx^2+c[/$]

Q: Was ist eine Normale und wie erhält man ihre Steigung?
A: Eine Normale ist eine Senkrechte zur Funktion, sie liegt somit um 90° gedreht zur Tangente. Ihre Steigung erhält man als negativen Kehrwert der Tangentensteigung:
[$]m_n=-\frac{1}{m_t}[/$]

Q: Wie prüft man eine Funktion auf Achsensymmetrie?
A: Es muss gelten:
[$]f(-x)=f(x)[/$]
Bei einer ganzrationalen Funktion müssen alle Exponenten gerade sein.

Q: Wie lautet die allgemeine Geradengleichung?
A: y=mx+b
mit Steigung m und y-Achsenabschnitt b

Q: Gib die Gleichung einer parallelen zur x-Achse an
A: y=f(x)=c (eine Konstante Zahl), z.B. f(x)=5

Q: Gib die Gleichung einer parallelen zur y-Achse an
A: x=c (eine Konstante Zahl), z.B. x=5 (dies ist keine Funktion)

Q: Woran erkennt man, dass zwei Geraden parallel sind?
A: Sie haben die gleiche Steigung

Q: Woran erkennt man, dass zwei Geraden senkrecht zueinander sind?
A: Das Produkt ihrer Steigungen ergibt -1.
Hinweis: Für die Steigung der Normalen und der Tangentensteigung gilt ja [$]m_n=-\frac{1}{m_t}[/$]

Q: Wie löst man eine quadratische Gleichung?
A: Alle Terme auf eine Seite bringen, dann die pq-Formel anwenden (zunächst durch den Vorfaktor von x² teilen).

Q: Wie löst man eine Gleichung dritten oder höheren Grades?
A: Alle Terme auf eine Seite bringen, dann wenn möglich ausklammern, substituieren (z.B. z=x²) oder eine Nullstelle raten und Polynomdivision anwenden.
Das Ziel ist immer den Grad der Funktion zu reduzieren.

Q: Wie lauten die Potenzrechengesetze?
A: [$]a^m\cdot a^n=a^{m+n}[/$]
[$]\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}[/$]
[$](a^m)^n=a^{m\cdot n}[/$]
[$]a^{-m}=\frac{1}{a^m}[/$]

Q: Wie lautet der Satz des Pythagoras?
A: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden Kathetenquadrate ist gleich dem Hypothenusenquadrat.
[$]a^2+b^2=c^2[/$]
Dabei ist c die Hypothenuse (gegenüber vom rechten Winkel)

Q: Was ist die (maximale) Definitionsmenge?
A: Die Menge aller Werte, die in eine Funktion eingesetzt werden können.

Q: Was ist die Definitionsmenge von [$]f(x)=\frac{1}{x-1}[/$]
A: [$]\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{ 1 \} = \mathbb{R}^{\neq 1}[/$]
alle reellen Zahlen ohne 1

Q: Was ist die Wertemenge?
A: Das ist die Menge aller Funktionswerte einer Funktion. Also alle Werte, die die Funktion annehmen kann.

Q: Bestimme die Wertemenge von [$]f(x)=x²-1[/$]
A: [$]\mathbb{W}=\mathbb{R}^ {\geq -1}[/$]
Da die Normalparabel um 1 nach unten verschoben ist, kann sie nur alle Werte größer oder gleich -1 annehmen.

Q: Was ist der Funktionswert?
A: Eine Funktion [$]f[/$]nimmt den Funktionswert [$]f(x)[/$]für einen bestimmten [$]x[/$]-Wert an.

Wie sieht die Sinusfunktion im Graphen aus?

Wie sieht die Cosinusfunktion im Graphen aus?

Wie sieht die Tangensfunktion aus?

Q: Wie rechnet man das Gradmaß in das Bogenmaß um?
A: [$]b = \frac{\pi}{180^{\circ}} \cdot \alpha[/$]

Q: Wie rechnet man das Bogenmaß in das Gradmaß um?
A: [$]\alpha = \frac{180^{\circ}}{\pi} \cdot b[/$]

Q: Welchem Gradmaß entspricht [$]\frac{\pi}{2}[/$]
A: 90°

Q: Welchem Bogenmaß entsprechen 180°?
A: [$]\pi[/$]

Q: Wie lauten die Sinuswerte von 0°,30°,45°,60° und 90° ?
A: [$]0,\frac{1}{2}, \frac12 \sqrt{2}, \frac12 \sqrt{3}, 1[/$]

Q: Welche Seitenverhältnisse gehören zu sinus, cosinus und tangens im rechtwinkligen Dreieck?
A: [$]sin = \frac{Geg}{Hyp},cos = \frac{Ank}{Hyp},tan = \frac{Geg}{Ank}[/$]

Wo findet man Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis?

Q: Wie lautet die allgemeine Sinusfunktion in Normgestalt?
A: [$]f(x)=A \cdot \mathbf{sin} \left (B \cdot (x - C)\right) + D[/$]

Q: Welche Bedeutung haben die Parameter A,B,C und D bei der Sinusfunktion
[$]f(x)=A \cdot \mathbf{sin} \left (B \cdot (x - C)\right) + D[/$]
A: A bestimmt die Streckung/Stauchung in y-Richtung (somit die Amplitude)
B bestimmt die Streckung und Stauchung in x-Richtung (Einfluss auf die Periode)
C bestimmt die Verschiebung in x-Richtung
D bestimmt die Verschiebun gin y-Richtung

Q: Wie berechnet man aus dem Parameter B der Sinusfunktion die Periode p?
[$]f(x)=A \cdot \mathbf{sin} \left (B \cdot (x - C)\right) + D[/$]
A: [$]p = \frac{2\pi}{B}[/$]

Q: Wie berechnet man aus der Periode p den Parameter B der Sinusfunktion?
[$]f(x)=A \cdot \mathbf{sin} \left (B \cdot (x - C)\right) + D[/$]
A: [$]B = \frac{2\pi}{p}[/$]

Q: Skizziere die Funktion [$]f(x)=3 \cdot \mathbf{sin}(2x-6)-1[/$]
A: Die Amplitude ist 3, der "Startpunkt" der Sinusfunktion liegt bei (3 | -1) - die zwei im Sinus muss erst ausgeklammert werden - Die Periode beträgt p = 2pi / 2 = pi

Q: Wie wird eine Funktion in y-Richtung gestreckt?
A: Sie wird mit einem Faktor a multipliziert (a>1 für Streckung): [$]y = a \cdot f(x)[/$]

Q: Wie wird eine Funktion in y-Richtung gestaucht?
A: Sie wird mit einem Faktor a multipliziert (0 < a < 1 für Stauchung):
[$]y = a \cdot f(x)[/$]

Q: Wie wird eine Funktion in y-Richtung (d.h. auch vertikal) verschoben?
A: In den man einen Wert zur Funktion addiert:
[$]y = f(x)+c[/$]

Q: Wie wird eine Funktion in x-Richtung (horizontal) verschoben?
A: In dem man jedes Vorkommen von x in der Funktionsgleichung durch (x-c) ersetzt. Die Funktion wird dann um c in x-Richtung verschoben:
[$]y = f(x-c)[/$]

Q: Wie wird eine Funktion in x-Richtung gestreckt oder gestaucht (horizontal)?
A: In dem man jedes Vorkommen von x mit einem Faktor a versieht (x wird zu a*x). Die Funktion wird dann um den Faktor 1/a gestreckt bzw. gestaucht:
[$]y= f(a \cdot x)[/$]

Q: Wie spiegelt man eine Funktion an der x-Achse?
A: In dem man die gesamte Funktion mit (-1) malnimmt:
[$]y = - \left ( f(x) \right )[/$]

Q: Wie spiegelt man eine Funktion an der y-Achse?
A: Jedes x in der Funktionsgleichung wird durch (-x) ersetzt:
[$]y = f(-x)[/$]

Q: Wie lautet die Punkt-Steigungsform einer Geraden?
A: [$]y = m (x-x_0) + y_0[/$]
Dies ist die Gerade mit der Steigung m durch den Punkt [$](x_0 | y_0)[/$]

Q: Was ist eine Passante zu einer Parabel?
A: Das ist eine Gerade, die die Parabel nicht schneidet.

Q: Was ist eine Tangente an eine Parabel?
A: Eine Gerade, die die Parabel in einem Punkt berührt.

Q: Was ist eine Sekante zu einer Parabel?
A: Eine Gerade, die die Parabel an zwei Stellen berührt.

Q: Wie findet man heraus, ob eine Gerade eine Passante, Tangente oder Sekante zu einer Parabel ist?
A: Man bestimmt die Schnittstellen von Gerade und Parabel. Je nach Anzahl (entscheidend ist der Wert unter der Wurzel der pq-Formel) hat man eine Passante (0 Stellen), Tangente (1) oder Sekante (2)

Q: Wie bestimmt man eine Parabel, wenn man einen Punkt der Parabel und den Scheitelpunkt gegeben hat?
A: Man setzt den Scheitelpunkt für d und e und den Punkt für x und y in der Scheitelpunktform ein und bestimmt dann a. Mit den Werten für a, d und e ist die Parabel in Scheitelpunktform gegeben.
[$]f(x)=a\cdot(x-d)^2+e[/$]

Q: Wie bestimmt man eine Parabel, die durch drei gegebene Punkte geht?
A: Man setzt alle drei Punkte in die Normalform der Parabel für x und y
[$]f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x +c[/$]
ein. Daraus erhält man ein Gleichungssystem für die drei Unbekannten a, b und c und drei Gleichungen. Aus der Lösung dieses Gleichungssystems bestimmt man die Normalform der Parabel.

Q: Wie erstellt man eine Wertetabelle zu einer Funktion?
A: Man setzt verschieden x-Werte ein und berechnet die zugehörigen y-Werte. Dies ergibt die Wertetabelle.

Q: Wie bestimmt man den Steigungswinkel einer Geraden?
A: Man verwendet die Gleichung [$]m = tan(\alpha)[/$] und löst sie mit dem Inversen tangens (tan^-1) nach alpha auf.

Q: Welche Werte kann der Schnittwinkel zweier Geraden annehmen?
A: [$]0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ[/$], denn es wird immer der kleinere der beiden Winkel gewählt.

Q: Wie berechnet man den Schnittwinkel zweier Geraden?
A: Man berechnet die jeweiligen Steigungswinkel der beiden Geraden und aus den Ergebnissen den Schnittwinkel.

Q: [...] = [...]
A: [$]a^m \cdot a^n[/$]; [$]a^{m+n}[/$]

Q: [...] = [...]
A: [$]\frac{a^m}{a^n}[/$]; [$]a^{m-n}[/$]

Q: [...] = [...]
A: [$](a \cdot b)^n[/$]; [$]a^n \cdot b^n[/$]

Q: [...] = [...]
A: [$]\left( \frac{a}{b} \right) ^n[/$]; [$]\frac{a^n}{b^n}[/$]

Q: [...] = [...]
A: [$](a^m)^n[/$]; [$]a^{m \cdot n}[/$]

Q: [...] = [...]
A: [$]a^{-n}[/$]; [$]\frac{1}{a^n}[/$]

Q: [$]a^0 = [/$]  [...]
A: 0

Q: [$]a^1 = [/$]  [...]
A: a

Q: [...] = [...]
A: [$]a^\frac{1}{n} [/$]; [$]\sqrt[n]{a}[/$]

Q: [...] = [...]
A: [$]a^\frac{m}{n} [/$]; [$]\sqrt[n]{a^m}[/$]

Q: Welche beiden Äquivalenzumformunngen bringen x auf eine Seite und die Zahlen auf die andere?
[$]8 x ^\frac32 = 2 x^\frac12[/$]
A: [$]:2[/$] und [$]:x ^\frac32[/$]
Es ginge auch
[$]:8[/$] und [$]:x ^\frac12[/$]

Q: Was ist die Lösung von
[$]x ^\frac52 = 8[/$]
A: [$]x = 8^\frac25 = \sqrt[5]{8^2} = \sqrt[5]{64}= 2 \sqrt[5]{2}[/$]

Q: Welche Potenzfunktionen ([$]x^n[/$]) sind punktsymmetrisch?
A: Nur die mit ungeradem Exponenten n:
[$]x^1, x^3, x^5, ...[/$]

Q: Welche Potenzfunktionen ([$]x^n[/$]) sind achsensymmetrisch?
A: Nur die mit geradem Exponenten n:
[$]x^2, x^4, x^6, ...[/$] und auch [$]x^0=1[/$]

Q: [$$]\lim_{x \to +\infty} x^5 = [/$$]
A: [$$]\lim_{x \to +\infty} x^5 = +\infty[/$$]

Q: [$$]\lim_{x \to -\infty} x^5 = [/$$]
A: [$$]\lim_{x \to -\infty} x^5 = -\infty[/$$]

Q: [$$]\lim_{x \to +\infty} x^6 = [/$$]
A: [$$]\lim_{x \to +\infty} x^6 = +\infty[/$$]

Q: [$$]\lim_{x \to -\infty} x^6 = [/$$]
A: [$$]\lim_{x \to -\infty} x^6 = +\infty[/$$]

Q: [$$]\lim_{x \to +\infty} -3 \cdot x^5 = [/$$]
A: [$$]\lim_{x \to +\infty} -3 \cdot x^5 = -\infty[/$$]

Q: Wie lautet die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion?
A: [$]f(x)=a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x ^{n-1} + \cdots + a_1 \cdot x + a_0[/$]

Q: Eine [...] heißt auch [...].
A: ganzrationale Funktion; Polynom

Q: z.B. bei der pq-Formel muss man oft einen Bruch halbieren, wie kann man dies leicht durchführen?
Was ist somit die Hälfte von [$]\frac{7}{3}[/$]
A: Man halbiert einen Bruch, in dem man den Nenner verdoppelt.
Die Hälfte von [$]\frac{7}{3}[/$] ist [$]\frac{7}{6}[/$]

Q: Wie Multipliziert man zwei Klammern miteinander? (Distributivgesetz)
[$](a+b) \cdot (c+d)[/$]
A: In dem man jedes Element der einen Klammer mit jedem der anderen Klammer multipliziert. Achtung: Die Vorzeichen bleiben bei dem jeweiligen Wert:
[$](-3+5) \cdot (7-4) = -3 \cdot 7 + (-3) \cdot (-4) + 5 \cdot 7 + 5 \cdot (-4)[/$]